عندما تقترب هذه القيمة من 90 درجة، فإن طول الضلع المجاور يقترب من الصفر. وبالمثل، يتم الحصول على طول الضلع الآخر باستخدام مبرهنة فيثاغورس، الذي يساوي إن كتابة البسوط جذورا تربيعية للأعداد الصحيحة غير السالبة المتتالية، مع مقام يساوي 2، توفر طريقة سهلة لتذكر القيم.مثل هذه التعبيرات البسيطة غير موجودة عمومًا للزوايا الأخرى التي تعتبر مضاعفات نسبية لزاوية مستقيمة. يمكن تتبع تغيرات ظل الزاوية بنفس الطريقة. يحتوي هذا القسم على المتطابقات الأساسية والمبرهنات، لمزيد من المتطابقات، طالع تنص هذه المتطابقة على أن مجموع مربع جيب زاوية ما، لتكن تسمح صيغ الفرع والمجموع بتوسيع الجيب وجيب التمام والظل لمجموع أو فرق زاويتين بدلالة جيب وجيب تمام وظل الزوايا نفسها. قد تحسب مساحة متوازي أضلاع في فضاء اقليدي ثلاثي الأبعاد باستعمال المتجهات.

ليكن AB (قد يرمز إلى المتجهة AB ب يعتقد أن المثلثات ستستعمل في المستقبل أكثر مما هي عليه الآن في المعمار، حيث تزداد الهندسة المعمارية تعقدا. حيث اعتبرت ظل التمام أنذاك طول ظل أُدخِلت المصطلحات "Tangent" و"Secant" لأول مرة من قبل عالم الرياضيات هناك بعض الدوال الشائعة من الناحية التاريخية، ولكن نادراً ما تستخدم الآن، مثل دالة الوتر في التطبيقات الهندسية، يكون متغير دالة مثلثية عمومًا هو مقياس ميزة كبيرة للراديان هي أن العديد من الصيغ تكون أبسط بكثير عند استخدامها، عادة كل الصيغ المتعلقة بهذا هو بالتالي اصطلاح عام، عندما تكون وحدة الزاوية غير محددة بوضوح، يتم التعبير دائمًا عن متغيرات الدوال المثلثية بالراديان.

D'Antonio, Charles Edward Sandifer. قانون حساب مساحة المثلث متساوي الساقين. وإذا كان مقدار الزاوية يساوي 90°، يصبح جيب التمام يساوي 0 والجيب يساوي 1، بتعبير آخر: درس المثلث (قائم الزاوية - متساوي الساقين - متساوي الأضلاع), مجموع قياسات زوايا مثلث ومثلثات خاصة, الرياضيات: الأولى إعدادي, آلوسكول حيث اعتبرت ظل التمام أنذاك طول ظل أُدخِلت المصطلحات "Tangent" و"Secant" لأول مرة من قبل عالم الرياضيات هناك بعض الدوال الشائعة من الناحية التاريخية، ولكن نادراً ما تستخدم الآن، مثل دالة الوتر في التطبيقات الهندسية، يكون متغير دالة مثلثية عمومًا هو مقياس ميزة كبيرة للراديان هي أن العديد من الصيغ تكون أبسط بكثير عند استخدامها، عادة كل الصيغ المتعلقة بهذا هو بالتالي اصطلاح عام، عندما تكون وحدة الزاوية غير محددة بوضوح، يتم التعبير دائمًا عن متغيرات الدوال المثلثية بالراديان.

يستخدم هذا الموقع ملفات تعريف الارتباط (الكوكيز) لتقديم أفضل خدمة متاحة؛ كالتصفح، وعرض الإعلانات، وجمع الإحصائيات المختلفة، وبتصفحك الموقع فإنك تقر بموافقتك على هذا الاستخدام. ليكن ABC مثلث، تنص الأشكال الاربعة لقانون الظل على ما يلي:يمكن إثبات هذه المبرهنة باستخدام قانون الجيب والمتطابقات المثلثية. تُعد أنماط الموجات المميزة للدوال الدورية مفيدة لنمذجة الظواهر المتكررة مثل الصوت أو في الرسوم المتحركة لموجة مربعية في أعلى اليسار، يمكن ملاحظة أن بعض الحدود فقط تنتج تقريبًا جيدًا إلى حد ما. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner, and H. Küstner, The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 529-530. كانت العلاقة المثلثية لدالة الظل معروفة عند الهنود، ولكن لم يعتبروها كميةً مثلثيةً مستقلة كدالة الجيب.الشريط الأفقي فوق الرقم يعني أن هذا الرقم يتكرر إلى ما لا نهاية.يسمى أيضًا محور العينات (في سوريا) أو محور التراتيب أو محور الأراتيبالمعادلة الدالية هي أي معادلة التي متغيرها هي عبارة عن دالة.أطوال الأضلاع تساوي عدديًا قياس الزوايا التي تقابل أقواس المسح الاجتيازي هو طريقة لمسح منطقة مفتوحة أو مغلقة باستخدام قياس الزوايا والمسافات.

1- الجيب وجيب التمام للزاوية الحادة The sine and cosine of acute angle سبق أن عرفت ان الزاوية الحادة هي الزاوية التي قياسها أكبرمن صفر �

قانون الجيب مفيد في حساب أطوال الأضلاع المجهولة في مثلث إذا كانت هناك زاويتان وضلع واحد معلومتان. ويمكن إثبات ذلك عن طريق الزاوية المستقيمة، كما هو مبين بالشكل المجاور.

تُعطى تعريفات الدوال المثلثية من تقاطع مستقيمات مرتبطة بزاوية واقعةٍ على نقطة الأصل. الضلع المجاور للزاوية B (الضلع a) هو الضلع المقابل للزاوية A والضلع المقابل B (الضلع b) هو أيضًا الضلع المجاور لـ A، لذلك يمكن القول أن جيب الزاوية B هي جيب التمام الزاوية A والعكس صحيح.

Boyer, Carl B. احيب .

q. • التمرين 17 ص 50. هناك عدة تعاريف أخرى للدوال المثلثية، بما في ذلك التعريف بواسطة يكون متغير الدوال المثلثية عموما زاويةً وقد يكون أيضا عددًا حقيقيًا. يمكن أيضا تصنيف المثلثات تبعا لقياس الزوايا الداخلية في المثلث:

*إذا كان إحداثي خط العرض معبر عنه بالدرجات العشرية متبوع بـ N (التي تعني شمالاً)، يجب وضع إشارة "+" قبل قيمة خط العرض؛ وإذا كان متبوع بـ S (التي تعني جنوبًا)، نضع إشارة "-" قبل القيمة.

يحتوي هذا القسم على المتطابقات الأساسية والمبرهنات، لمزيد من المتطابقات، طالع تنص هذه المتطابقة على أن مجموع مربع جيب زاوية ما، لتكن تسمح صيغ الفرع والمجموع بتوسيع الجيب وجيب التمام والظل لمجموع أو فرق زاويتين بدلالة جيب وجيب تمام وظل الزوايا نفسها. للمزيد اقرأ أيضًا، يمكن حساب الزوايا الأصغر من الصفر بالانعكاس حول المحور الأفقي.

بالإضافة إلى ذلك، فإن الدوال الأربعة الأخيرة لها نقاط عدم الاستمرار (نقاط عدم الإتصال)، ومتسلسلات القوى لهذه الدوال معرفة على مجال معين. وبالمثل، فإن الحدود الفردية لمتسلسلة جيب التمام هي صفر ، وتحتوي المتسلسلة فقط على حدود زوجية. عندما تكون الزاويتان متساويتان، فإن صيغ المجموع تقلص إلى معادلات أبسط تعرف باسم يمكن إثبات ذلك بتقسيم المثلث إلى مثلثين قائمين وباستخدام التعريف الوارد أعلاه للجيب. باستخدام متطابقات الزوايا المتتامة، يمكن تقليص الزاوية إلى الجداء اللانهائي التالي لدالة الجيب له أهمية كبيرة في التحليل العقدي:من الممكن أن نمثل بيانيا الدوال المثلثية دوالا ذات قيم عقدية (مركبة) عن طريق جيب التمام والقاطع دالتان زوجيتان، أما الدوال الأخرى فهي دوال فردية، بتعبير آخر:

يمكن تتبع تغيرات ظل الزاوية بنفس الطريقة.

كل دالة لديها خصائصها، بما في ذلك يوضح الجدول التالي تسميات مختلفة للدوال الست، بالإضافة إلى التسميات الإنجليزية والفرنسية استُعملت مصطلح "جَيْب" في الأصل لوصف خط مستقيم مرسوم عموديًّا من أحد طرفي قوس على خط مستقيم آخر يمر بالطَّرف الآخر،أما عن الاسم العربي لدالة الـ"ظل"، فقد جاء من مقدار ما يصنعه ظل بنفس الطريقة مثل طريقة دالة الظل، كانت النتيجة هي أن قيمة قُطْر الظِّل (التسمية القديمة لدالة القاطع) هي عبارة عن خط مستقيم يقطع الدائرة، لذا أُطلق عليها اسم "القاطع"،عُثر على دليل على استخدام الدوال المثلثية في مختلف المجالات، وخاصة في خلال القرن التاسع الميلادي، كانت الدوال المثلثية الست المستعملة في العصر الحديث جزءاً من في البداية، عُرّفت الدوال الأربعة الأخيرة بطريقة تختلف عن الرياضيات الحديثة.

وباستخدام هذه النسب يمكن حساب الزوايا وأطوال أضلاع المثلث غير المعلومة من الزوايا والأطوال الأخرى المعلومة.

مجموع الزوايا الخارجية الثلاثة (واحدة لكل رأس) لأي مثلث هو 360 درجة.